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Historia de las Secciones Cónicas |
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Durante toda la historia de la matemática los conceptos han sido mucho mas importantes que la terminología utilizada. Sin embargo, la influencia de Apolonio sobre las secciones cónicas tiene una importancia mayor a la usual.
Durante
aproximadamente 150 años, se refirieron a ellas por la forma común a
como habían sido descubiertas: secciones de un cono agudo (u
oxitoma), secciones de un cono rectángulo (u ortotoma), y secciones
de un cono obtuso (o amblístoma). Arquímedes continuo utilizando
estos nombres, aunque según parece también uso ya el nombre de
parábola como sinónimo para una sección de un cono rectángulo. Sin
embargo, fue Apolonio, posiblemente, siguiendo los consejos de
Arquímedes, quien hablo o nombro por primera vez, las secciones
cónicas como "elipse" e "hipérbola". Los nombres dados no eran
nuevos, sino que adaptados de un uso anterior, posiblemente
obtenidos de los pitagóricos, como la solución de ecuaciones
cuadráticas por el método de aplicación de áreas. |
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Ecuaciones Generales, Ecuaciones Cónicas y Definiciones de Las Secciones Cónicas |
| Elipse |
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Lugar geométrico de todos los puntos tal que la suma de la distancia de un punto (x,y) a un punto fijo (Foco 1) mas la distancia del mismo punto al otro punto fijo (Foco 2) sea siempre una suma constante que se representa por 2a. Si a>b la elipse es horizontal, si a<b la elipse es vertical. |
Elipse con centro en el punto (h,k). |
 Elipse con centro en el origen. |
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 Centro (3,2) |
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Centro (0,0) |
| Parábola |
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(Dependiendo si es vertical u horizontal) |
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Lugar geométrico de todos los puntos (x,y) que cumplan con que su distancia a la directriz (recta fija) sea igual a la distancia al punto fijo o Foco. |
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| Hipérbola |
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Horizontal |
Vertical |
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Lugar geométrico de todos los puntos (x,y) que cumplan la condición que la diferencia entre las distancias de un punto (x,y) a dos puntos fijos (Focos 1 y 2) sea siempre constante, condición para cualquier punto de la hipérbola. Esta diferencia es 2a, donde "a" corresponde a la distancia desde el centro a cualquiera de los dos vértices de la hipérbola. |
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| Circunferencia |
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Lugar geométrico de todos los puntos cuya distancia a un punto fijo llamado centro es constante y denominada radio. Nótese que la circunferencia es un tipo de elipse en que la distancia a (distancia horizontal) y la distancia b (distancia vertical) son iguales. |
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x2 + y2 = r2 Circunferencia con centro en el origen. |
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MATEMÁTICAS EN TU MUNDO
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Apolonio (ca. 262-200 a.C) de la escuela de Alejandría y quien se deben los nombres de Parábolas, Hipérbola y Elipse, dio una visión general de las secciones cónicas, al general todas, variando la inclinación del plano que corta al cono con respecto del eje del mismo. |
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Piensa en una naranja o en un limón, o una fruta de forma casi esférica. Si cortamos a uno de ellos con un cuchillo, la forma de la sección cortada es un circulo. la concha tiene forma de circunferencia. Si se hacen cortes transversales o longitudinales en algunas frutas, se obtienen curvas que se asemejan a cónicas. |
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Una aplicación importante de la elipse es el descubrimiento de Kepler: los planetas y satélites tienen trayectorias elípticas; siendo el Sol uno de los focos. La propiedad óptica o reflectante de las cónicas es utilizada en los espejos y reflectores parabólicos que tienen forma de paraboloide de revolución (superficie obtenida al rotar una parábola alrededor de su eje). Un reflector con esta forma transforma la luz que emana de una fuente ubicada en el foco F en un rayo paralelo al eje. Esto se deduce de una· ley física: "El ángulo de reflexión r es igual al ángulo de incidencia i" (r = i) y de la antes enunciada propiedad óptica de la parábola. |
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Si se trata de un telescopio, los rayos paralelos de luz se transforman en rayos concentrados en el foco.
Igualmente, se utiliza la propiedad reflectante de la elipse en la acústica con el objeto del diseño y construcción de "galerías de murmullos": si la forma de la cúpula de un auditórium o de una galería es elíptica, entonces un susurro o murmullo débil emitido en un foco no es casi percibido en la mayor parte del salón excepto en el otro foco. Esto ha sido utilizado en el Salón de las Estatuas del Capitolio de Washington D.C., en el Tabernáculo Mormón en Salk Lake City, en la denominada "Galería de los Suspiros" en el Convento del Desierto de Los Leones cerca de Ciudad de México, y otras edificaciones. En el famoso Taj Mahal, construido en el siglo XVII (16301652) en la India por el emperador Sah Yahan en honor de su esposa Mumtaz-i Mahall, uno de los máximos logros de la. arquitectura mogol, tiene una galería de los suspiros en donde anteriormente a la pareja en luna de miel se le colocaba en los respectivos focos, de tal forma que el novio murmuraba la frase: Ala memoria de mi amada inmortal, la cual era solamente escuchada por su novia situada a una distancia de algo más de 15 m. |
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RENE DESCARTES |
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Descartes está considerado como el creador de la geometría analítica. La teoría de Descartes se basa en dos conceptos: el de las coordenadas y el de representar en forma de curva plana cualquier ecuación algebraica de dos incógnitas, utilizando el método de las coordenadas. |